\documentclass[a4paper]{article}

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\title{10. "Ubungsblatt Numerik}
\date{Version vom \today}
\author{B"uch, Lutz (Gruppe 7)\\Rieck, Bastian (Gruppe 1)}

%
%\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
%

\begin{document}

\maketitle

\section*{Aufgabe 1}

Betrachtet man zun"achst die Teilsummen, so gilt:

\begin{displaymath}
(E_n - A ) \sum_{i=0}^{n} A^i = E_n - A + A - A^2 + A^2 - \dots -
A^(n+1) = E_n - A^{n+1}
\end{displaymath} 

Bez"uglich der in der Aufgabe definierten Norm gilt $\| A \| < 1$. Daher
gilt auch:

\begin{displaymath}
\| A^{n+1} \| \leq \| A \| ^{n+1} \rightarrow 0\,\,\textrm{f"ur $n
\rightarrow \infty$} 
\end{displaymath}

Also konvergiert $E_n - A^{n+1}$ gegen $E_n$. Dann gilt im Limes:

\begin{displaymath}
(E_n - A ) = (E_n - A) ^{-1} (E_n - A ) \sum_{n  = 0} ^{\infty} A^n =
\sum_{n=0} ^{\infty} A ^n
\end{displaymath}

Damit gilt die Behauptung.

\hfill $\Box$

\section*{Aufgabe 3}

F"ur die Matrix $A$ soll die Cholesky-Zerlegung berechnet werden. $A$
ist symmetrisch und positiv definit, daher existiert $G \in
M(3,3;\mathbb{R})$, sodass $A = GG^T$, wobei gilt:

\begin{displaymath}
G =
\begin{pmatrix}
g_{11} & 0 & 0\\
g_{21} & g_{22} & 0 \\
g_{31} & g_{32} & g_{33}
\end{pmatrix}
\end{displaymath}

Also ist $GG^T$ gegeben durch die Matrix:

\begin{displaymath}
GG^T = 
\begin{pmatrix}
g_{11}^2 & g_{11}g_{21} & g_{11}g_{31}\\
g_{21}g_{11} & g_{21}^2 + g_{22}^2 & g_{21}g_{31} + g_{22}g_{32}\\
g_{31}g_{11} & g_{31}g_{21}+g_{22}g_{32} & g_{31}^2 + g_{32}^2 +
g_{33}^2
\end{pmatrix}
\end{displaymath}

Aus diesen Gleichungen kann man Schritt f"ur Schritt die Koeffizienten
der Matrix $G$ bestimmen. Es ergibt sich die Matrix:

\begin{displaymath}
G =
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0\\
1 & 2 & 0\\
1 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\end{displaymath}

\hfill $\Box$

\section*{Aufgabe 4}

Es soll gelten, dass $A = LR$ mit:

\begin{displaymath}
L = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
l_{21} & 1 & 0\\
l_{31} & l_{23} & 1
\end{pmatrix}
\,
R =
\begin{pmatrix}
r_{11} & r_{12} & r_{13}\\
0 & r_{22} & r_{23}\\
0 & 0 & r_{33}
\end{pmatrix}
\end{displaymath}

Und somit:

\begin{displaymath}
LR =
\begin{pmatrix}
r_{11} & r_{12} & r_{13}\\
l_{21}r_{11} & l_{21}r_{12} + r_{22} & r_{13}l_{21} + r_{23}\\
r_{11}l_{31} & r_{12}l_{31} + r_{22}l_{23} & r_{13}l_{31} + r_{23}l_{23}
+ r_{33}
\end{pmatrix}
\end{displaymath}

Durch L"osen der der Gleichungen kann man die Koeffizienten von $L$ und
$R$ bestimmen:

\begin{displaymath}
L = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0\\
3 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\,
R = 
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 2 & 6\\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
\end{displaymath}

Da die Determinante multiplikativ ist, gilt $\det M = \det L \cdot \det R =
12$. Durch Anwendung des Gau"s-Jordan-Algorithmus kann die inverse
Matrix bestimmt werden:

\begin{displaymath}
A^{-1} =
\begin{pmatrix}
3 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{3}\\
-\frac{5}{2} & 2 & -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6}
\end{pmatrix}
\end{displaymath}

\hfill $\Box$

\end{document}