\documentclass[a4paper]{article}

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\usepackage{latexsym}

\title{6. "Ubungsblatt Numerik}
\date{Version vom \today}
\author{B"uch, Lutz (Gruppe 7)\\Rieck, Bastian (Gruppe 1)}

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%\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
%

\begin{document}

\maketitle

\section*{Aufgabe 1}

Die Funktion

\begin{displaymath}
f(x) = 
\begin{cases}
f_1(x) = x^3+x & \text{f"ur} \, a \leq x \leq 0\\
f_2(x) =x^3-x & \text{f"ur} \, 0 \leq x \leq b
\end{cases}
\end{displaymath}

ist kein Spline, denn die $f(x)$ stimmt zwar an der Intervallgrenze $x =
0$ linksseitig und rechtsseitig "uberein, das hei"st $f_1(0) =
f_2(0) = 0$, dies gilt jedoch nicht
f"ur die Ableitung:

\begin{align*}
f_1'(x) & = 3x^2+1\\
f_2'(x) & = 3x^2-1\\
f_1'(0) & = 1 \neq -1 = f_2'(0)
\end{align*}

Damit ist die Splinebedingung der ersten Ableitungen nicht erf"ullt.

$\hfill \Box$

\section*{Aufgabe 2}

Zun"achst bestimmt man die ben"otigte Ableitung der Funktion $f(x)$: 

\begin{displaymath}
f^{(4)} =
e^{x^2}((16x^4+24x^2+1)\cos(x)-8x(4x^2+5)\sin(x))-8x\cos(x)+(x^2-12)\sin(x)
\end{displaymath}

Unter Verwendung von \texttt{GNUPlot} erkennt man, dass $f^{(4)}$ ein
Randextremum hat (der Wert ist f"ur $x = -\pi$ oder $x = \pi$ jeweils
derselbe). Damit ist $L \approx 3.473137279 \cdot 10^7$.
In den Bezeichnungen der Fehlerabsch"atzung von Satz 3.3.5 setzen wir
weiterhin:

\begin{align*}
Q & = 1 \phantom{x} \text{(da die St"utzstellen "aquidistant)}\\
c_0 & = \frac{5}{384}\\
h & = \frac{2\pi}{n} \phantom{x} \text{($n := $ Anzahl der St"utzstellen
$-1$)}
\end{align*}

Es soll gelten (mit $S(x) :=$ interpolierender Spline):

\begin{displaymath}
\vert f(x) - S(x) \vert \leq c_0 L Q h^4 \leq 10^{-6}
\end{displaymath}

Also:

\begin{align*}
& \frac{5}{384} \cdot 3.473137279 \cdot 10^7 \cdot (\frac{2\pi}{n})^4 \leq 10^{-6}\\
& \Leftrightarrow n^4 \geq \frac{3.473137279 \cdot 10 ^7  \cdot \frac{5}{384} \cdot 16
\pi^4}{10^{-6}}\\
& \Leftrightarrow n \geq 5152.524324\\
\end{align*}

Somit ist $n$ mindestens $5153$. Damit m"ussen also zumindest $5154$
St"utzstellen verwendet werden, wenn der Approximationsfehler sicher
kleiner gleich $10^{-6}$ sein soll.

$\hfill \Box$

\section*{Aufgabe 3}

Die Funktion $f(x)$ ist je nach Intervall aus den folgenden Funktionen
zusammengesetzt:

\begin{align*}
f_1(x) & = a(x-2)^2+b(x-1)^3\\
f_2(x) & = c(x-2)^2\\
f_3(x) & = d(x-2)^2 + e(x-3)^3
\end{align*}

Mit den Splinebedingungen f"ur die Funktionswerte
(Interpolationsbedingung) ergibt sich:

\begin{align*}
f_1(1) = f_2(1) & \Rightarrow a = c\\
f_2(3) = f_3(3) & \Rightarrow c = d
\end{align*}

F"ur die ersten und zweiten Ableitungen der Funktionen an diesen
Stellen ergeben sich dieselben Bedingungen:

\begin{align*}
f_1'(x) = 2a(x-2)+3b(x-1) & \Rightarrow f_1'(1) = -2a\\
f_2'(x) = 2c(x-2) & \Rightarrow f_2'(1) = -2c, f_2'(3) = 2c\\
f_3'(x) = 2d(x-2) + 3e(x-3)^2 & \Rightarrow f_3'(3) = 2d\\
\end{align*}

Aus $f_1'(1) = f_2'(1)$ folgt wieder $a = c$, aus $f_2'(3) = f_3'(3)$
folgt wieder $ c = d$. Und f"ur die zweite Ableitung:

\begin{align*}
f_1''(x) = 2a + 6b(x-1) & \Rightarrow f_1''(1) = 2a\\
f_2''(x) = 2c & \Rightarrow f_2''(1) = 2c, f_2''(3) = 2c\\
f_3''(x) = 2d + 6e(x-3) & \Rightarrow f_3''(3) = 2d\
\end{align*}

Somit folgt erneut aus $f_1''(1) = f_2''(1)$ und $f_2''(3) = f_2''(3)$,
dass $a = c$ und $c = d$. Der Spline ist also f"ur die folgenden Werte
von $a,b,c,d,e$ ein Spline:

\begin{displaymath}
M = \{ (a,b,a,a,e) \vert a,b,e \in \mathbb{R} \}
\end{displaymath}

$\hfill \Box$

Nun bestimmt man durch das L"osen von Gleichungssystemen $a,b,e$ derart,
dass folgende Bedingungen erf"ullt sind:

\begin{align*}
f_1(0) & = 26, f_1( 1 ) = 7\\
f_2(1) & = 7\\ 
f_3(4) & = 25
\end{align*}

Da $ a = c = d$, folgt aus $f_2(1) = 7$, dass  $a = c = d = 7$. Mit
diesem Wissen berechnet man aus $f_1(0) =4a - b = 28 - b = 26$, dass $b
= 2$ gelten muss. Aus $f_3(4) = 4d + e = 28 + e = 25$ folgt, dass $e =
-3$ ist. Es wurde bereits gezeigt, dass $f(x)$ f"ur $ a = c = d$ ein
Spline ist. In der Tat ist leicht zu "uberpr"ufen, dass $f(x)$ f"ur $a =
c = d = 7, b = 2, e = -3$ die Interpolationsaufgabe l"ost:

\begin{align*}
f_1(0) = 28 - 2 & = 26\\
f_1(1) = f_2(1) & = 7\\
f_3(4) & = 25
\end{align*}

Und somit ist der Spline f"ur die gegebene Interpolationsaufgabe
definiert durch:

\begin{displaymath}
f(x) = 
\begin{cases}
7(x-2)^2+2(x-1)^3 & \text{f"ur} \, x \leq 1\\
7(x-2)^2 & \text{f"ur} \, 1 \leq x \leq 3\\
7(x-2)^2 - 3(x-3)^3 & \text{f"ur} \, 3 \leq x
\end{cases}
\end{displaymath} 

\section*{Aufgabe 4}

Sei $n \in \mathbb{N}$. Es sei eine Basis unseres $n$-dimensionalen Funktionenraums gegeben
durch:

\begin{displaymath}
p_i(x) =
\begin{cases}
x^i + \alpha_i & \text{f"ur} x \neq 0\\
0 & \text{sonst} 
\end{cases}
\phantom{xxx} \forall i \in \{1,...,n\}
\end{displaymath}

Die Basispolynome $p_i(x)$ sind aus Gradgr"unden offensichtlich linear
unabh"angig. Mit dieser Basis kann ein Interpolationsproblem, das ein
Wertetupel $(x = 0, f(x) = \beta)$ mit $\beta \neq 0$ enth"alt, nicht
gel"ost werden, denn:

\begin{displaymath}
\forall i \in \{1,...,n\}: p_i(0) = 0 \phantom{x} \text{(nach
Definition)}
\end{displaymath}

Gesucht ist aber ein $p_i(x)$, sodass $p_i(0) \neq 0$. Dieses existiert
in diesem Funktionenraum nicht.

$\hfill \Box$

\end{document}