\documentclass[a4paper,pdftex]{article}

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\title{5. "Ubungsblatt Numerik}
\date{Version vom \today}
\author{B"uch, Lutz (Gruppe 7)\\Rieck, Bastian (Gruppe 1)}

%
%\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
%

\begin{document}

\maketitle

\section*{Aufgabe 1}

\paragraph{Lemma:}

Sei $n_i > 1, p=(x-x_i)^{n_i} \cdot q$ Polynom vom Grad $n$, wobei $q$
ein Polynom ist mit $q(x_i) \neq 0$ (es gilt also $\deg(q)=n-n_i$). Mit
der Produktregel folgt daraus:

\begin{align*}
p' & = n_i \cdot (x-x_i)^{(n_i - 1)} \cdot q + (x-x_i)^{n_i} \cdot q'\\ 
   & = (x-x_i)^{(n_i - 1)} \cdot ( n_i \cdot q + (x-x_i) \cdot q')
\end{align*}

F"ur ein Polynom q' mit $\deg(q')=n-n_i-1$. Also hat p' hat eine
Nullstelle in $x_i$ mit algebraischer Vielfachheit $n_{i-1}$.

\hfill $\Box$

\paragraph{Beweis der Fehlerformel:}

Wir definieren die Hilfsfunktionen $r$ und $R$ analog wie im Beweis zu
(3.2.11):

\begin{align*}
R & := \frac{f(\tilde{x})-P(\tilde{x})}{\omega(\tilde{x})}\\
r(x) & := f(x) - P(x) - \omega(x) \cdot R\\
\end{align*}

In diesem Fall k"onnen wir nicht davon ausgehen, dass alle Nullstellen
paarweise verschieden sind, denn die algebraische Vielfachheit jeder
Nullstelle kann auch $\neq 1$ sein. Dennoch kann f"ur zwei verschiedene
"`benachbarte"' Nullstellen $x_i \neq x_{i+1}$ eine Nullstelle in der
n"achsten Ableitung von $r$ gez"ahlt werden. Dies ist eine direkte
Folgerung aus dem Satz von Rolle.

F"ur identische Nullstellen ersieht man durch sukzessive Benutzunzg der
Produktregel der Differentiation (Beweis siehe Lemma), dass deren
algebraische Vielfachheit sich genau um $1$ verringert. Somit ergibt
sich f"ur die Ableitungen von $r$ (analog zu 3.2.11):

\begin{itemize}

\item

$r$ hat mindestens $n+2$ Nullstellen: $x_0, x_1, \dots, x_n, \tilde{x}
\in I$, wobei die $x_i$ mehrfach in dieser Z"ahlung vorkommen (genau
$n_i$-fach)

\item

$r'$ hat mindestens $n+1$ Nullstellen

$\hdots$

\item

$r^{(n+1)}$ hat mindestens 1 Nullstelle $\xi$

\end{itemize}

Nun gilt analog zu 3.2.11: $r^{(n+1)}(x) = f^{(n+1)}(x)-R \cdot (n+1)!$,
somit ist $ 0 = r^{(n+1)}(\xi) = f^{(n+1)}(\xi) - R \cdot (n+1)!$ und
durch Aufl"osen nach R und Einsetzen der Defintion folgt:

\begin{align*}
\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} & = \frac{f(\tilde{x}) -
p(\tilde{x})}{\omega(\tilde{x})}\\
\Rightarrow f(\tilde{x}) - p(\tilde{x}) & =
\frac{\omega(\tilde{x})}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi(\tilde{x}))
\end{align*}

Dies beweist die Behauptung f"ur $\tilde{x} \in I$.

\hfill $\Box$

\section*{Aufgabe 2}

Die Plots der Funktionen befinden sich im Anhang. F"ur $h = 0.5$ ist
diese Abbildung \ref{fig:02_01} auf Seite \pageref{fig:02_01}, f"ur $h =
1.5$ Abbildung \ref{fig:02_02} auf Seite \pageref{fig:02_02}. Das
Polynom, das die Beziehung $\min( f(x) ) \leq \tilde{p}(x) \leq \max(
f(x))$ (f"ur das Intervall $[0, \dots, 2.5]$) erf"ullt, wird durch die
St"utzstellen $x_0 = 0, x_1 = 2, x_2 = 2.25, x_3 = 2.5$ beschrieben.
Dieses Polynom ist in Abbildung \ref{fig:02_03} auf Seite
\pageref{fig:02_03} beschrieben.

\section*{Aufgabe 3}

Mit den in der Aufgabe gegebenen Bedingungen folgt, dass das
Hermitepolynom allgemein von der Form $p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +
e$ sein muss. Und mit $f(x) = e^x$ gilt f"ur diese Bedingungen:

\begin{displaymath}
p(0) = 1,\,
p(1) = e,\,
p'(0) = 1,\,
p'(1) = e,\,
p''(0) = 1
\end{displaymath}

Nun k"onnen die Gleichungen schrittweise gel"ost werden. Dabei werden
mit $a,b,c,d,e$ die Variablen der allgemeinen Polynomgleichung
bezeichnet:

\begin{align*}
p(0) & = 1 \Rightarrow e = 1\\
p'(0) & = 1 \Rightarrow d = 1\\
p''(0) & = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{2}
\end{align*}

Die allgemeine Gleichung wurde nun in $p(x) = ax^4 + bx^3 +
\frac{1}{2}x^2 + x + 1$ "uberf"uhrt. Aus $p(1) = e$ und $p'(1) = e$
ergeben sich die Gleichungen:

\begin{align*}
a+b + \frac{5}{2} & = e\\
4a + 3b + 2 & = e\\
\Rightarrow b  & = e - \frac{5}{2} - a
\end{align*}

Setz man dies in die zweite Gleichung ein, so kann man durch
wohldefinierte Umformungen $a,b$ bestimmen:

\begin{align*}
4a + 3( e - \frac{5}{2} - a ) & = e - 2\\
\Rightarrow 4a + 3e - \frac{15}{2} - 3a & = e -2\\
\Rightarrow a  & = -2e + \frac{11}{2} \approx 0.063436\\
\Rightarrow b  & = 3e - 8 \approx 0.154845
\end{align*}

Somit gilt f"ur das Hermitepolynom:

\begin{align*}
p(x) & = (-2e + \frac{11}{2} ) x ^4 + ( 3e - 8 ) x^3 + \frac{1}{2} x^2 +
x + 1\\
p(x) & \approx 0.063436 x^4 + 0.154845 x^3 + 0.5x^2 + x + 1
\end{align*}

Der Fehler errechnet sich nun nach der bereits bekannten Fehlerformel.
Es sind St"utzstellen $x_0, x_1$ gegeben und insgesamt 5 Bedingungen
gesetzt. In den Voraussetzungen der Aufgabe ist somit $n_0 = 3$ und $n_1
= 2$. Damit ist $\omega( x ) :=  x ^ 3 + ( x - 1) ^2 = x^3 + x^2 - 2x +
1$. Und da $f^{(n)}(x) = f(x)$ f"ur $f(x) = e^x$, gilt:

\begin{align*}
\| f - p \|_{\infty} \leq \frac{1}{(n+1)!}\| \omega \|_{\infty} \|
f^{(n+1)}\|_{\infty}
\end{align*} 

Dabei ist $\| \omega(x) \|_{\infty} = 1$ (Randextremum) und $\|
f^{(n+1)} \|_{\infty} = e$ (f"ur das gegebene Intervall $I$). Somit gilt
f"ur den Fehler $\Delta x$:

\begin{displaymath}
\Delta x \leq 1 \cdot e \cdot \frac{1}{120} = 0.02265
\end{displaymath}

\hfill $\Box$

\clearpage

\section*{Anhang}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=180pt]{02_01}
\caption{$f$ und $p_1$ f"ur $h = 0.5$}
\label{fig:02_01}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=180pt]{02_02}
\caption{$f$ und $p_2$ f"ur $h = 1.5$, der Fehler ist anschaulich sehr
gro"s}
\label{fig:02_02}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[height=400pt,angle=90]{02_03}
\caption{$f$ und $\tilde{p}(x)$} 
\label{fig:02_03}
\end{figure}



\end{document}