\documentclass[a4paper]{article}

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\title{2. "Ubungsblatt Numerik}
\date{Version vom \today}
\author{Buech, Lutz (Gruppe 7)\\Rieck, Bastian (Gruppe 1)}

%
%\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
%

\begin{document}

\maketitle

\section*{Aufgabe 1}

"`Lutz Buech"' entspricht $4.5$. "`Bastian Rieck"' entspricht $7.5$. In bin"arer Darstellung nach
\textbf{IEEE 754} k"onnen die Zahlen wie folgt dargestellt werden:

\begin{align}
0\vert10000001\vert1110000000000000000000000000000\\
0\vert10000001\vert0010000000000000000000000000000
\end{align}

Dies entspricht in der vereinfachten Darstellung nach dem Skript:

\begin{align}
+\vert1111\vert11\\
+\vert1001\vert11
\end{align}

Wie man an der eindeutigen Darstellung sehen kann, treten bei der
Rundung keinerlei Fehler auf. Daher sind absoluter und relativer Fehler
$ = 0$.

\section*{Aufgabe 2}

Im Folgenden wird die durch das Standardskalarprodukt eines Euklidischen
Vektorraums definierte Euklidische Norm verwendent.
Mit $p(x,y) = 6x + 7y$ gilt: $\| \nabla{p(x,y)} \| = \sqrt{85} :=
\kappa_{abs}$. $\kappa_{rel}$ kann -- analog in Teilaufgabe b) -- durch
Bestimmung des Maximums der folgenden Funktion gefunden werden:

\begin{displaymath}
\kappa_{rel} = \frac{\|(x,y)\|}{\|p(x,y)\|}\|\nabla{p(x,y)}\|
\end{displaymath} 

F"ur Teilaufgabe a) ist somit das Maximum des Ausdrucks $\frac{\sqrt{x^2
+ y^2}}{\sqrt{36x^2+49y^2}}\sqrt{85}$ zu bestimmen. Dieses ist ein
Randextremum (aufgrund des besch"rankten Definitionsbereiches) und liegt
bei $(x,y) = (3,1)$. An dieser Stelle ist $\kappa_{rel} \approx 1.51$.\\

F"ur Teilaufgabe b) wird $\kappa_{abs}$ so bestimmt: $\| \nabla{f(x,y)}
\| = \sqrt{ 12^2 + (-6)^2 } = \sqrt{ 65 } = \kappa_{abs}$. Und
$\kappa_{rel}$ errechnet sich durch Berechnung des Maximums von:

\begin{displaymath}
\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{144x^2 + 36y^2}}\sqrt{65} 
\end{displaymath}

Dieses ist auch ein Randextremum und liegt bei $(x,y) = (1,2)$. Hier
ist $\kappa_{rel} = 1.062$.\\

Der relative Eingangsfehler betr"agt f"ur $p,f$ $6\%$.
F"ur den relativen Fehler, der nach Auswertung der Funktion vorliegt,
muss in beiden F"allen $\frac{\vert f(x,y) - f(x + \Delta x, y + \Delta
y)}{\vert f(x) \vert}$ bestimmt werden (entsprechend f"ur die Funktionen
$p,f$). F"ur die Funktion $p$ ergibt sich:

\begin{displaymath} \frac{\vert 6x + 7y - ( 6x + y + 6 \Delta x + 7
\Delta y) \vert}{ \vert 6x + 7y \vert } = \frac{ \vert \frac{12}{100} x
- \frac{28}{100} y \vert}{\vert 6x + 7y \vert} \leq \kappa_{rel}( \Delta
  p_1 + \Delta p_2) 
\end{displaymath}

Und f"ur $f$ entsprechend:

\begin{displaymath}
\frac{ \frac{24}{100}x - \frac{24}{100} y }{ 12x - 6y } = \frac{ x - y
}{ 50x - 25y } \leq \kappa_{rel}( \Delta p_1 + \Delta p_2 )
\end{displaymath}  

\section*{Aufgabe 3}

Das Newtonverfahren wird zur numerischen L"osung der Gleichung $f(x) =
0$ verwendet. Es werden also N"aherungen an die Nullstellen der Funktion
gefunden. Der Anfangswert $x_0$ sollte niemals so gew"ahlt werden, dass
$f'(x_0) = 0$ gilt, denn dann ist der Bruch $\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$
nicht definiert.

In der folgende Formalisierung ist die Anzahl der Komponenten im Vektor
von einem Schritt zum anderen nicht konstant, da nicht ben"otigte Werte
entfernt werden. Dies ist laut Vorlesung gestattet.

\paragraph{Formalisierung:}

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
x_0\\
f(x_0)\\
f'(x_0)
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
x_0\\
f(x_0)\\
f'(x_0)\\
f := \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
x_1 := x_0 - f\\
f(x_0)\\
f'(x_0)
\end{pmatrix}
\rightarrow 
\begin{pmatrix}
x_1\\
f(x_1)\\
f'(x_1)
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
x_1\\
f(x_1)\\
f'(x_1)\\
f := \frac{f(x_1)}{f'(x_1)}
\end{pmatrix}
\rightarrow\\
\begin{pmatrix}
x_2 := x_1 - f\\
f(x_1)\\
f'(x_1)
\end{pmatrix}
\rightarrow
\dots \rightarrow
\begin{pmatrix}
x_n\\
f(x_{n-1})\\
f'(x_{n-1})
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
x_n\\
f(x_{n-1})\\
f'(x_{n-1})\\
f := \frac{f(x_{n-1}}{f'(x_{n-1})}
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
x_{n+1} := x_n - f\\
f(x_n)\\
f'(x_n)
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
x_{n+1}
\end{pmatrix}
\end{align*}

Die Eingabedaten sind aus dem $\mathbb{R}^3$, die Ausgabedaten sind aus
$\mathbb{R}$. Ein Perl-Snippet k"onnten den Algorithmus folgenderma"sen
beschreiben\footnote{Wobei \texttt{df(x)} die Ableitung an der Stelle $x$
bezeichnet.}:
 
\begin{listing}{1}

$x = $x0;

for( $i = 0; $i < $n; $i++ )
{
	if( df( $x) != 0 )
		$x = $x - f( $x ) / df( $x );
}
\end{listing}

In Zeile 7 wird die eigentliche Elementaroperation ausgef"uhrt, die den
jeweils neuen Wert von $x_i$ berechnet.

\section*{Aufgabe 4}

Die grundlegende Idee besteht in der Einf"uhrung von Hilfsfunktionen,
deren Werte  jeweils einzeln nach dem Euler'schen Polygonzugverfahren
berechnet werden k"onnen.

Eine Differentialgleichung der Art $y^{(m)}(x) = f( x, y(x),
y^{(1)}(x), \dots, y^{(m-1)}(x))$ kann durch Hilfsfunktionen
schrittweise in eine Differentialgleichung erster Ordnung transformiert
werden:

\begin{align*}
a_1(x) & := y(x)\\
a_2(x) & := y^{(1)}(x)\\
& \dots\\
a_3(x) & := y^{(m)}(x)
\end{align*}

Dann gilt f"ur die Ableitung der Funktion\footnote{Der besseren
"Ubersichtlichkeit halber wurde eine vektorielle Schreibweise gew"ahlt.}:

\begin{equation*}
a' = 
\begin{bmatrix}
a_1'\\
a_2'\\
\dots\\
a_{m-1}'\\
a_m'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_2\\
a_3\\
\dots\\
a_m\\
f(x,a_1,a_2,\dots,a_m)
\end{bmatrix}
\end{equation*}

F"ur die einzelnen Ableitungen kann eine Approximation durch das bereits
bekannte Eulerverfahren stattfinden. Sei $a^{(j)}$ allgemein eine der
Hilfsfunktionen und $a^{(j)}_i$ ein bereits bekannter Wert der Funktion
(z.B.  durch die Anfangsbedingungen vorgegeben). Dann kann
$a^{(j)}_{i+1}$ f"ur diese Funktion wie folgt approximiert
werden\footnote{Und sukzessive m"ussen nat"urlich die Werte aller
anderen Hilfsfunktionen berechnet werden. Dies muss in jedem
Iterationsschritt geschehen.}:

\begin{align*}
a^{(j)}_{i+1} & = a^{(j)}_i + \Delta{x}f(x_i, a^{(1)}_i, \dots,
a^{(j)}_i, \dots, a^{(n)}_i)\\
x_{i+1} & = x_i + \Delta{x}
\end{align*}

Dabei bezeichnet $\Delta{x}$ die Maschenweite. Ausgehend von einer
Differentialgleichung erster Ordnung mit gegebenen Endwerten kann der
Eulersche Polygonzug einfach r"uckg"angig gemacht werden:

\begin{align*}
u_{i-1} & = u_i - f(x, u_i( x_i ) ) \Delta{x}\\
x_{i-1} & = x_i - \Delta{x}
\end{align*}

Dabei ist $u$ die Funktion, die entwickelt wird, und $x$ der Endwert
(mit $u_n( x_n )$ gegeben). So
erh"alt man L"osungen in der Vergangenheit.

%\[
%\begin{pmatrix}
%x \\ y
%\end{pmatrix}
%\]


\end{document}